Apsītis dzimis 1939.gadā. 1963.gadā absolvējis Latvijas Valsts universitātes (LVU), tagadējo Latvijas Universitāti (LU) Ekonomikas un juridiskās fakultātes tiesību zinātņu nodaļu, 1972.gadā stažējies Maskavas Valsts universitātē, 1975.gadā aizstāvējis disertāciju Latvijas Valsts universitātē, bet 1987.gadā stažējies Tartu universitātē.
Mūžībā aizgājis Romāns Apsītis – liels jurists un Latvijas patriots, kura balsī toreiz, 1990.gada 4.maijā, Augstākajā padomē izskanēja un Latvijas vēsturē mūžīgi skanēs mūsu Neatkarības deklarācija. Visdziļākā līdzjūtība Romāna ģimenei un domubiedriem šajā skumjajā brīdī.
— Egils Levits (@valstsgriba) February 17, 2022
No 1962.līdz 1963.gadam strādājis par Rīgas pilsētas Maskavas rajona prokuratūras izmeklētāju, no 1965.gada bijis LU asistents, aspirants, vecākais pasniedzējs, docents, asociētais profesors, profesors. Bijis Augstākās padomes, 5.un 6.Saeimas deputāts, 1993., 1994.gadā – Tieslietu ministrijas parlamentārais sekretārs, 1994.gadā – tieslietu ministrs.
1996.gadā ievēlēts par ST tiesnesi, no 2000.līdz 2006.gada jūnijam bijis ST priekšsēdētāja vietnieks. Savukārt no 2007.gada 1.marta līdz 2011.gada 28.februārim – tiesībsargs.
Viņš ir apbalvots ar trešās šķiras Triju Zvaigžņu ordeni, 1991.gada barikāžu dalībnieku piemiņas zīmi un Tieslietu ministrijas pirmās pakāpes Atzinības rakstu.